近日,中科大幾何與物理研究中心創始主任陳秀雄教授與王兵教授在國際知名數學期刊《微分幾何學雜志》上發表瞭關於高維凱勒裡奇流收斂性的論文。該論文解決瞭幾何分析領域二十餘年懸而未決的核心猜想,並取得瞭重大進展。菲爾茲獎得主唐納森也多次在媒體和文章中稱贊此文為“幾何領域近年來的重大突破”。那麼,為此做出巨大貢獻的裡奇流是什麼?讓我們來瞭解一下。

一、微分幾何學是什麼

在介紹裡奇流之前,我們先來瞭解一下什麼是微分幾何學。微分幾何學起源於17世紀,最早研究內容是平面曲線的曲率、曲線的包絡等。在18世紀,隨著歐拉對微分幾何學的奠基,以及蒙日、梅斯尼埃、拉格朗日等人對它的發展,微分幾何的研究主題開始從平面曲線的研究擴展到空間曲線和曲面理論的研究,特別是關於曲面理論的研究,積累瞭諸如曲面的曲率、可展曲面、曲面上的測地線、極小曲面等方面的研究成果。這些曲面理論的成果為高斯進入微分幾何學提供瞭基本的研究問題和工具,並為高斯提出內蘊微分幾何學打下理論基礎。在整個微分幾何學的發展階段,誕生瞭很多研究工具,裡奇流就是其中之一。

二、幾何分析工具——裡奇流

裡奇流是一種描述空間演化的微分幾何學研究工具。1982年由哈密爾頓在文獻中首先引入,在文獻中,哈密爾頓利用裡奇流,分別分類瞭具有正裡奇曲率的3維流形和具有正曲率算子的4維流形。1993年,哈密爾頓又在文獻中引入瞭裡奇流手術,並且提出瞭解決龐加萊猜想和幾何化猜想的提綱。在微分幾何裡,裡奇流是一個內蘊的幾何流。它是模仿熱擴散的方式在黎曼流形上變化其度量,去掉度量的非正則化,最終裡奇曲率流將得到一個高斯曲率處處相等的黎曼度量。

三、裡奇流的應用

裡奇流最初由哈密爾頓引入以研究具有正裡奇曲率的緊致3維流形。而在經過許多數學傢數十年的研究後,裡奇流現已被廣泛用於研究有關流形的拓撲,幾何和復雜結構。特別是,哈密爾頓過去20年的基礎工作以及佩雷爾曼對龐加萊猜想的證明,使裡奇流成為瞭幾何分析中最復雜,功能最強大的工具之一,在為著名的龐加萊猜想提供瞭重要的解決方案後,現還被中國數學傢用來解決瞭哈密爾頓-田猜想和偏零階估計猜想,這些均為幾何分析領域的核心猜想。

四、微分幾何發展對我們生活的影響

微分幾何學自17世紀起源以來,便對很多學科的發展產生瞭巨大的推動作用,在我們的日常生活中更是處處可見。它是一種可用來研究空間幾何的學科,大到宇宙膨脹,小到熱脹冷縮,諸多自然現象都可以歸結到空間演化。它的發展對於我們的生活影響巨大,人工智能、機器人和虛擬現實等現代技術,以及物理學中著名的廣義相對論和量子場論等,都是因微分幾何才得以被推進和發展。可以說,微分幾何即使在今天也發揮著重要的作用,並將更加深遠地影響我們的未來。

參考資料:

[1]中國科大幾何與物理中心團隊在裡奇流研究中取得重大突破.中國科學技術大學.2020.11.4

[2]我國學者攻克數學難題 歷時11年證明微分幾何學核心猜想.央廣網.2020.11.9

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[4]我國數學傢成功證明微分幾何學兩大核心猜想.新華網.2020.11.9

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[8]穿越11年的數學長跑:尋找那顆最完美的“鵝卵石”.新華網.2020.11.16